Argument d'un nombre réel ou imaginaire pur

Proposition

Soit  `z` un nombre complexe non nul.

1. \(z \in \mathbb{R} \Longleftrightarrow \arg(z) \equiv 0 \ [\pi]\) .

2. \(z \in i\mathbb{R} \Longleftrightarrow \arg(z) \equiv \frac{\pi}{2} \ [\pi]\)

Démonstration

On note  \(\text M\) le point du plan complexe d'affixe `z` .

1. On a :
  \(\begin{align*} z \in i\mathbb{R} & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \text M \text{ appartient à l'axe des ordonnées privé de l'origine } \text O \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \left(\vec{u};\overrightarrow{\text O\text M}\right) \equiv \frac{\pi}{2} \ [\pi] \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \arg(z) \equiv \frac{\pi}{2} \ [\pi] \end{align*}\)

2. On a :
\(\begin{align*} z \in \mathbb{R} & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \text M \text{ appartient à l'axe des abscisses privé de l'origine } \text O \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \left(\vec{u};\overrightarrow{\text O\text M}\right) \equiv 0 \ [\pi] \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \arg(z) \equiv 0 \ [\pi] \end{align*}\)

Remarque

Plus précisément :

• \(z \in \mathbb{R}_+ \ \Longleftrightarrow \ \arg(z) \equiv 0 \ [2\pi]\) ;
  
• \(z \in \mathbb{R}_- \ \Longleftrightarrow \ \arg(z) \equiv \pi \ [2\pi]\) .